$latex

\textbf{Keplerovský parametr} & \textbf{Popis} \ \hline
$a$ & velká poloosa dráhy \
$e$ & numerická excentricita \
$\Omega$ & rektascenze (délka) výstupního uzlu \
$i$ & inklinace (sklon dráhy) \
$\omega$ & argument perigea \
$t_{p}$ & čas průchodu družice perigeem \ \hline
\end{tabular}
\end{table}
Pokud je dráha družice počítána v soustavě rotující se zemí (neinerciální, např. WGS84, ITRF2014) používá se místo \textit{rektascenze výstupního uzlu} termín \textit{délka výstupního uzlu}.
Aktuální polohu družice na oběžné dráze určujeme pomocí tzv. anomálií. Místo času průchodu perigeem $t_{p}$ lze uvádět hodnotu střední anomálie $M_{0}$ v čase $t_{0e}$ (vztažný čas efemeridy).
\begin{figure}[htbp]\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{OBR/kepler.pdf}
\end{center}
\vspace*{-10mm}\caption{Keplerovské elementy}
\label{obrKepler}
\end{figure}
V obrázku ?? představují $X$, $Y$, $Z$ osy neinerciálního systému, $\lambda$ je zeměpisná délka, $\vernal$ je směr jarního bodu a $v$ je pravá anomálie.

\section{Výpočet souřadnic družice GPS}\label{sect2}
Čas přijímače $t_{ROV}$ můžeme na systémový čas $t$ přepočítat jako
\begin{equation}
t = t_{ROV} – \Delta t_{ROV} \,,
\end{equation}
kde $\Delta t_{ROV}$ je odchylka časové základny přijímače . Časový argument výpočtu $t_{k}$ pak vypočteme jako
\begin{equation}
t_{k} = t – t_{0e}\,,
\end{equation}
kde $ t_{0e}$ je vztažný čas efemeridy. Místo hodnoty $ t_{0e}$ můžeme použít i hodnotu $ t_{0c}$ z navigační zprávy. Korigovaný střední pohyb $n$ získáme jako
\begin{equation}
n = \sqrt{\frac{\text{GM}}{a^{3}}} +\Delta n\,,
\end{equation}
kde GM je geocentrická gravitační konstanta, $a$ je velká poloosa dráhy a $\Delta n$ získáme z navigační zprávy.

Střední anomálii $M_{k}$ vypočteme ze vztahu
\begin{equation}
M_{k} = M_{0} + n t_{k}\,,
\end{equation}
kde $M_{0}$ je střední anomálie pro čas záznamu (z navigační zprávy). Excentrická anomálie $E_{k}$ je pak součástí vztahu
\begin{equation}
M_{k} = E_{k} – e \sin E_{k} \,,
\end{equation}
kde $e$ je numerická excentricita. Následně můžeme vypočítat pravou anomálii $v_{k}$ jako
\begin{equation}
\tan \frac{v_{k}}{2} = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\tan \frac{E_{k}}{2}\,.
\end{equation}
a argument šířky $\phi_{k}$
\begin{equation}
\phi_{k} = v_{k} + \omega \,.
\end{equation}
Korigovaný argument šířky $u_{k}$, korigovaný poloměr orbity $r_{k}$ a korigovanou inklinaci $i_{k}$ vypočteme jako
\begin{equation}
\begin{split}
u_{k} &= \phi_{k} + C_{us} \sin 2\phi_{k} + C_{uc}\cos 2\phi_{k}\,, \
r_{k} &= a(1-e\cos E_{k}) + C_{rs}\sin 2\phi_{k} + C_{rc} \cos 2\phi_{k}\,, \
i_{k} &= i_{0} + \dot{i} t_{k} + C_{is} \sin 2\phi_{k} + C_{ic} \cos 2\phi_{k} \,.
\end{split}
\end{equation}
Pravoúhlé souřadnice družice v orbitální rovině pak vypočteme jako
\begin{equation}
\begin{split}
x_{k}‘ &= r_{k} \cos u_{k}\,, \
y_{k}‘ &= r_{k} \sin u_{k}\,.
\end{split}
\end{equation}
Délku vzestupného uzlu v čase $t_{0e}$ vypočteme jako
\begin{equation}
\Omega_{0e} = \Omega_{0} – \dot{\Omega}{e} t{0e}\,,
\end{equation}
kde $\dot{\Omega}{e}$ je úhlová rychlost rotace Země a korigovanou hodnotu délky vzestupného uzlu $\Omega{k}$ vypočteme jako
\begin{equation}
\Omega_{k} = \Omega_{0e} + (\dot{\Omega} – \dot{\Omega}{e})t{k}\,.
\end{equation}
Souřadnice družice $X_{k}$, $Y_{k}$, $Z_{k}$ vypočteme jako
\begin{equation}
\begin{split}
X_{k} &= x_{k}‘ \cos \Omega_{k} – y_{k}’\sin \Omega_{k}\cos i_{k}\,, \
Y_{k} &= x_{k}‘ \sin \Omega_{k} + y_{k}’\cos \Omega_{k}\cos i_{k}\,, \
Z_{k} &= y_{k}’\sin i_{k}\,. \
\end{split}
\end{equation}

\section{Odchylka časové základny družice}
Odchylku časové základny družice $\Delta t_{SV}$ vypočteme jako
\begin{equation}
\Delta t_{SV} = a_{f0} + a_{f1}(t-t_{0c}) + a_{f2}(t-t_{0c})^{2} + \Delta t_{r}\,,
\end{equation}
kde $\Delta t_{r}$ je korekce relativistického efektu
\begin{equation}
\Delta t_{r} = \text{F}e\sqrt{a}\sin E_{k}\,,
\end{equation}
kde konstanta
\begin{equation}
\text{F} = -\frac{2\sqrt{\text{GM}}}{\text{c}^2}\,,
\end{equation}
kde c je rychlost světla.

\section{Geometrická vzdálenost družice od přijímače}
\begin{equation}
R = \sqrt{(X_{k} – X_{r})^2 + (Y_{k} – Y_{r})^2 + (Z_{k} – Z_{r})^2}\,,
\end{equation}
kde $X_{r}$, $Y_{r}$ a $Z_{r}$ jsou souřadnice antény přijímače.

\section{Zpoždění signálu}
\begin{equation}
\tau = \frac{R}{\text{c}}
\end{equation}

\section{Poloha družice v okamžiku vyslání signálu}
Výpočet je stejný jako v podkapitole ??, pouze
\begin{equation}
t_{k} = t – t_{0e} – \tau
\end{equation}
a pro zachování původní souřadnicové soustavy musíme upravit
\begin{equation}
\Omega_{k} = \Omega_{t0e} + (\dot{\Omega} – \dot{\Omega}{e})(t{k} + \tau)\,.
\end{equation}

\section{Úprava pseudovzdálenosti}
Naměřenou pseudovzdálenost $P_{i}$ upravíme na vzdálenost $R_{i}$ vztahem
\begin{equation}
R_{i} = P_{i} – \text{c}\Delta t_{ROV} + \text{c}\Delta t_{SV} – \Delta r_{IONO} – \Delta t_{TROP} \,,
\end{equation}
kde $\Delta r_{IONO}$ a $\Delta r_{TROP}$ je ionosférická, respektive troposférická korekce,

\section{Zadání}
Na základě navigační zprávy a souboru naměřených dat ve formátu RINEX určete pro danou družici a čas:

\begin{enumerate}
\item geocentrické souřadnice družice v okamžiku vyslání signálu
\item hodnotu zpoždění signálu
\item přesnou vzdálenost družice od přijímače
\item odchylku časové základny družice
\item skutečnou (pravou chybu) $\epsilon$ pseudovzdálenosti $P_{i}$
\end{enumerate}

\section{Otázky}
\begin{itemize}
\item Jaké všechny chyby jsou obsažené v pseudovzdálenosti?
\item Jakou maximální hodnotu může mít GPS týden?
\item Zkuste najít, co znamená termín \uv{GPS week rollover}.
\item Zkuste vypsat družicové systémy, které znáte.
\end{itemize} $